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Randbedingung
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Randbedingungen sind konkrete Angaben zum Errechnen der Lösung einer Differentialgleichung, wobei alle benötigten Angaben für (meist zwei) verschiedene Werte der unabhängigen Variablen (dem Randwert) gegeben sind.
Randwertaufgaben haben - im Unterschied zu Anfangswertaufgaben - nicht immer eine (eindeutige oder überhaupt existente) Lösung (siehe Beispiel 2). Die numerische Berechnung von Randwertaufgaben mit Mitteln der Numerische_Mathematik ist wesentlich aufwendiger und läuft meist auf die Lösung sehr großer Lineares_Gleichungssysteme hinaus.
Sei die gegebene Differentialgleichung y"=2. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist y=x2+a1x+a0. Gesucht sind nun die Werte der Konstanten a0 und a1 für eine gegebene Aufgabenstellung.
Ein Randwertproblem wäre:
Gesucht ist die Lösung mit y(0)=0 und y(1)=0 (dh. für die beiden Werte x=0 und x=1 sind die gewünschten Funktionswerte bekannt).
Die Lösung dieses Randwertproblemes ist y=x2-x.
Sei die gegebene Differentialgleichung y"=-y. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist a.sin(x)+b.cos(x).
Gesucht ist die Lösung mit y(0)=1 und y(Ï€/2)=0.
Die Lösung ist y=cos(x).
Gesucht ist die Lösung mit y(0)=0 und y(Ï€)=0.
Es gibt unendlich viel Lösungen der Form a.sin(x) mit beliebigem a.
Gesucht ist die Lösung mit y(0)=0 und y(2Ï€)=1.
Es gibt keine Lösung.
Siehe auch: Anfangsbedingung
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